sábado, 18 de agosto de 2012

Teorema de Pascal

En un hexágono irregular inscrito en una circunferencia se trazan las prolongaciones de sus lados. Las rectas correspondientes a los lados opuestos se cortan en tres puntos respectivamente. Estos puntos están alineados y determinan la recta de Pascal. La figura en la que se inscribe el hexágono puede ser cualquier sección cónica (elipse, parábola...).

Este teorema, también llamado Hexagrammun Mysticum, es una generalización del Teorema del hexágono de Pappus y del dual proyectivo del Teorema de Brianchon. Fue decubierto por Blaise Pascal a la edad de 16 años.

 Fue generalizado por Möbius en 1847: Si un polígono con 4n+2 lados se encuentra inscrito en una sección cónica y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se intersecan en 2n+1 puntos. Entonces si 2n puntos se encuentran sobre una línea común, el punto restante también se encuentra sobre esa línea.


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Se puede modificar la circunferencia moviendo su centro A y el punto B. Moviendo los  vértices B, C, D, E, F y G se modifican los lados del hexágono. Estos puntos están sobre la circunferencia y no deben traspasar  los vértices contiguos para que no desaparezca el hexágono.
De esta forma se comprueba el teorema, siempre que las rectas no sean paralelas.