miércoles, 30 de marzo de 2011

Arquímedes y el número π

Arquímedes
Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. A ese número, que muchos siglos más tarde se demostró era irracional, le llamaron π (pi). Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23).

Traducido al lenguaje algebraico:
$$\pi=\frac{C}{D}=\frac{30}{10}$$
donde C es la circunferencia y D el diámetro.

En el papiro de Rhind, los egipcios dieron como valor del número π la siguiente aproximación:
$$\pi = \left( \frac{4}{3} \right)^3 = \frac{256}{81}=3,1604938$$

Fue Arquímedes el primero que científicamente calculó el número π por aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico, dando como valor:
$$ \frac{223}{71}<\pi<\frac{220}{70} $$ es decir $$ 3,140845 < \pi < 3,142857 $$

Como hemos visto Arquímedes dio unas aproximaciones de π, tanto por exceso como por defecto. Para ello uso un método de calcular perímetros de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas del número π del siguiente modo:
$$\pi_n = \frac{P_n}{D}$$
donde P es el perímetro del polígono asociado a la circunferencia de diámetro D.

Arquímedes utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Nosotros vamos a seguir un método muy parecido utilizando sólo los polígonos inscritos (aproximaciones por defecto), pero partiendo del cuadrado y duplicando también los lados de los polígonos inscritos. Desgraciadamente Arquímedes no tenía ordenador como nosotros, que nos permite hacer cálculos con mucha facilidad pudiendo llegar a polígonos de muchos más lados y dar una aproximación mejor. Para facilitar los cálculos vamos a tomar una circunferencia de radio unidad.


Observa en la figura, que hemos llamado a1 al lado del cuadrado inscrito y a2 al del octógono regular, entonces ¿cuánto vale an? Por trigonometría podemos deducir que:
$$a_1=2\cdot\sin(45)$$
$$a_2=2\cdot\sin(\frac{45}{2})$$
$$\ldots $$
$$a_n=2\cdot\sin(\frac{45}{2^{n-1}})$$

Por otro lado el perímetro de los sucesivos polígonos inscritos se puede calcular como:
$$P_1=4 \cdot a_1$$
$$P_2=8 \cdot a_2$$
$$\ldots $$
$$P_n=2^{n+1}\cdot a_n$$

Teniendo en cuenta que la circunferencia tiene un diámetro D = 2, podemos afirmar que la siguiente expresión es una aproximación por defecto del número π:
$$ \pi= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{P_n}{D} = \lim \limits_{n \to \infty} \left[ 2^{n+1} \cdot\sin \left(\frac{45}{2^{n-1}}\right) \right] $$

La tabla muestra la sucesivas aproximaciones del número π. Como se puede ver, con sólo 10 iteraciones (que corresponde con un polígono de 512 lados) conseguimos 5 cifras significativas.

2 comentarios:

William Clavijo Robinzón Clavijo dijo...

Pi Pirámides de Guiza

Simplemente esto:

Pi/2 * (10 * ((7 * 4 + /(PI/7)/4^2*10))*4) = 439,999 (Base Keops codos)
10 * ((2Pi * 7) /Pi/2) = 280 codos (Altura Keops)
2 es el diámetro del círculo
4 es el área del cuadrado circunscrito al círculo unitario
1 es el radio
El perímetro es = 8
El perímetro menos el radio = 7
10 es el factor de Escala

Pi en Kefrén

123 * 7 = 861m (Perímetro Kefrén)
Base: (861 m / π/6) /4 = 411,097218006366 codos (Base en codos)
Base: 411,097218006366 codos * π/6 = 215,25 metros (Base en metros)
Altura: 861 m / π = 274,064812 codos
Altura: 274,064812 codos * π/6 = 143,5 metros
Pi = 861 / 274,064812 = 3,14159265358979

Pi (π) en Mycerinus

Base Menor Pirámide = 335 pies = 102,108 metros
102,108 metros * π/2 = 65 metros (Altura Mycerinus)

Cinco Aproximaciones rápidas de Pi con 14 dígitos (Rectificación)

1. 3 +√2/10 + (√2/2 +1)/10^4 + (√3/2 +5)/10^7 + ((√√2 + 6) +7/10^3)/10^11 = 3,14159265358979

2. (7 +1/10) / ((9 + 4/100)/4) - ((8/√2) - 3) + 1/100)/10^7) - 1/(√1,25 + √0,5 + √2 + √3 + √5 + √7 + √8)*10^10 + (√3/2)/10^14 = 3,14159265358979

3. 6*((√1,25 +1,5)/5) - (2 + √8)/10^5) + (4/√7)/10^7 + 1/ (√√8 +10)*10^10
4. + 1 / (√1,25 - 4/1000)/10^10 = 3,14159265358978

5. 4*(0,5 + ((√0,5 +5)/10)/2) + ((2 + √0,5) + 1)/10 + (1 / (√7/10)) /10^4 + (√5/10 + √2)/10^6 + (2/√7)/10^10 + ((8 + √7) - 0,5)/10^12 = 3,14159265358979

6. √8 + 0,25 + 0,0625 + (1 /(150 + ((√7 + 3)/10) + 2)/10)*10) + 1 / (√0,5/3)*10^11
7. + 1 /(7 + √5) / √7)*10^12 = 3,14159265358979

Anónimo dijo...

Pendejo