miércoles, 30 de marzo de 2011

Arquímedes y el número π

Arquímedes
Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. A ese número, que muchos siglos más tarde se demostró era irracional, le llamaron π (pi). Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23).

Traducido al lenguaje algebraico:
$$\pi=\frac{C}{D}=\frac{30}{10}$$
donde C es la circunferencia y D el diámetro.

En el papiro de Rhind, los egipcios dieron como valor del número π la siguiente aproximación:
$$\pi = \left( \frac{4}{3} \right)^3 = \frac{256}{81}=3,1604938$$

Fue Arquímedes el primero que científicamente calculó el número π por aproximaciones sucesivas utilizando un método geométrico, dando como valor:
$$ \frac{223}{71}<\pi<\frac{220}{70} $$ es decir $$ 3,140845 < \pi < 3,142857 $$

Como hemos visto Arquímedes dio unas aproximaciones de π, tanto por exceso como por defecto. Para ello uso un método de calcular perímetros de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas del número π del siguiente modo:
$$\pi_n = \frac{P_n}{D}$$
donde P es el perímetro del polígono asociado a la circunferencia de diámetro D.

Arquímedes utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Nosotros vamos a seguir un método muy parecido utilizando sólo los polígonos inscritos (aproximaciones por defecto), pero partiendo del cuadrado y duplicando también los lados de los polígonos inscritos. Desgraciadamente Arquímedes no tenía ordenador como nosotros, que nos permite hacer cálculos con mucha facilidad pudiendo llegar a polígonos de muchos más lados y dar una aproximación mejor. Para facilitar los cálculos vamos a tomar una circunferencia de radio unidad.


Observa en la figura, que hemos llamado a1 al lado del cuadrado inscrito y a2 al del octógono regular, entonces ¿cuánto vale an? Por trigonometría podemos deducir que:
$$a_1=2\cdot\sin(45)$$
$$a_2=2\cdot\sin(\frac{45}{2})$$
$$\ldots $$
$$a_n=2\cdot\sin(\frac{45}{2^{n-1}})$$

Por otro lado el perímetro de los sucesivos polígonos inscritos se puede calcular como:
$$P_1=4 \cdot a_1$$
$$P_2=8 \cdot a_2$$
$$\ldots $$
$$P_n=2^{n+1}\cdot a_n$$

Teniendo en cuenta que la circunferencia tiene un diámetro D = 2, podemos afirmar que la siguiente expresión es una aproximación por defecto del número π:
$$ \pi= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{P_n}{D} = \lim \limits_{n \to \infty} \left[ 2^{n+1} \cdot\sin \left(\frac{45}{2^{n-1}}\right) \right] $$

La tabla muestra la sucesivas aproximaciones del número π. Como se puede ver, con sólo 10 iteraciones (que corresponde con un polígono de 512 lados) conseguimos 5 cifras significativas.